Induksi Matematika

Hai Sobat Belajar Matematika....^.^
Saya yakin sobat sering mendengar istilah "Induksi Matematik". Apa itu induksi matematik?
Maka, artikel ini berusaha menjawab pertanyaan tersebut. Semoga Bermanfaat.

Induksi Matematik merupakan salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan maupun dalam matematika lainnya. Oleh karena itu, penguasaan induksi matematik sangatlah penting karena banyak bahasan dalam matematika yang membutuhkan prinsip induksi matematik dalam pembuktian teorema maupun pemecahan masalah (problem solving). Argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika dalam hal ini dominan pada himpunan bilangan bulat (integer) atau lebih khusus himpunan bilangan asli (natural). Perhatikan contoh pernyataan matematik berikut ini.


Contoh:
Perhatikan penyataan: 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2. n. (n + 1), untuk setiap n bilangan asli (natural).
Benarkah pernyataan ini?


Biasanya Sobat, dalam menjawab pernyataan ini, kita mencoba dengan mensubstitusikan sembarang bilangan asli pada n dalam pernyataan tersebut.
Sobat, mari kita coba!

• Apabila n = 1, maka pernyataan itu menjadi 1 = 1/2. 1 (1 + 1), Sehingga 1 = 1, yaitu diperoleh suatu pernyataan benar.
• Apabila n = 2, maka pernyataan itu menjadi 1 + 2 = 1/2. 2 (2 + 1), Sehingga 3 = 3, yaitu diperoleh suatu pernyataan benar.
• Apabila n = 3, maka pernyataan itu menjadi 1 + 2 + 3 = 1/2. 3 (3 + 1), Sehingga 6 = 6, yaitu diperoleh suatu pernyataan benar.

Sobat dapat melanjutkannya untuk n = 4, 5 atau bilangan asli lainnya dan mungkin akan selalu diperoleh pernyataan yang bernilai benar. Apakah dengan memberikan beberapa contoh dengan substitusi beberapa bilangan asli n dari pernyataan semula dan diperoleh pernyataan-pernyataan yang benar, sudah memberikan bukti tentang kebenaran pernyataan tersebut?
Ternyata, dalam matematika hal tersebut bukan merupakan bukti. Oleh karena itu, Sobat harus mampu membuktikan kebenaran pernyataan tersebut untuk setiap bilangan asli n.

Alternatif penyelesaian lain, Sobat bisa menggunakan metode deret aritmatika.
Menggunakan ruas kiri dari pernyataan tersebut, dapat diperoleh suku pertama (a) = 1, beda (b) = 1, suku terakhir (Un) = n yang memiliki n buah suku. Maka,
Sn = 1/2. n. (a + Un)
Sn = 1/2. n. (1 + n)
Sn = 1/2. n. (n + 1), yaitu ruas kanan dari pernyataan yang dibuktikan. Terbukti.

Tetapi apabila Sobat lupa atau belum mengerti mengenai rumus deret aritmatika, Sobat dapat menggunakan cara yang ketiga yaitu Induksi Matematik. Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut.
Misalkan p(n) adalah suatu proposisi yang akan dibuktikan benar untuk setiap n bilangan asli. Langkah pembuktiannya adalah sebagai berikut:

1. Ditunjukkan bahwa p(1) benar.
2. Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k dan ditunjukkan bahwa p(k + 1) benar.

Jika langkah 1 dan 2 berhasil ditunjukkan kebenarannya, maka selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
Alasannya, karena langkah 1 benar, yaitu p(1) benar, dan karena langkah 2, maka p(2) benar pula. Selanjutnya, karena p(2) benar, menurut langkah 2, maka p(3) benar pula. Kemudian, karena p(3) benar, menurut langkah 2, maka p(4) benar pula dan seterusnya, sehingga p(n) benar untuk setiap n  bilangan asli. Langkah 1 disebut basis (dasar) induksi, sedangkah langkah 2 disebut langkah induksi.

Sobat, mari kita terapkan induksi matematik pada pembuktian pernyataan di atas.

Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2. n. (n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Bukti:
Misalkan p(n) menyatakan 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2. n. (n + 1).

1. p(1) adalah 1 = 1/2. 1 (1 + 1), yaitu 1 = 1, benar
2. Diasumsukan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2. k. (k + 1) benar. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(k + 1) benar, yaitu:  1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 1/2. (k + 1). (k + 2). 

Perhatikan: {ruas kiri} 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k + 1) = 1/2. k. (k + 1) + (k + 1). #Perlu Sobat ingat, 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2. k. (k + 1), berdasarkan langkah 2.#

Kita lanjutkan 1/2. k. (k + 1) + (k + 1) = 1/2k^2 + 3/2k + 2 = 1/2. (k + 1). (k + 2) {ruas kanan}. Terbukti.

Jadi, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = 1/2. (k + 1). (k + 2), maka p(k + 1) benar.

Kesimpulannya, p(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Sobat Belajar Matematika pasti sudah memahami induksi matematika. Mudah bukan?

Latihan:

1. Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2, untuk setiap n bilangan asli.
2. Buktikan bahwa 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = 1/6. n. (n + 1). (2n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Semoga bermanfaat ^o^

Daftar Pustaka
Sukirman. (2013). Teori Bilangan. Yogyakarta: UNY Press.

Categories: ibrohim aji kusuma, Induksi, Induksi Matematik, Induksi Matematika, logika matematika, marsigit, Number Theory, Sukirman, Teori Bilangan